Analyse av ren rulling
Forsøket er gjennomført av Gruppe 212 (T2) bestående av Rakel Nes, Hilde Aurvoll, Åse Berit Falang, Johanne Dahl Norland og Aurora Myhrum.
Sammendrag
Dette labprojektet analyserer en kules bevegelse langs en kulebane. Ved hjelp av videoanalyseverktøyet Tracker og gjennom numerisk metode har vi muligheten til å beregne slutthastigheten til kulen. De to beregningene, både numerisk og empirisk, åpner for å sammenlikne virkeligheten med teorien. Slutthastigheten beregnet numerisk ble 1.166 (m/s) . Sammenliknet ble slutthastigheten i selve forsøket målt til 1.209 ±0.07 (m/s). Feilen mellom de to beregningene kan skyldes en rekke usikkerheter som oppsettet av selve forsøket og andre målefeil.
1. Introduksjon
Krefter danner grunnlaget for hele fysikken og gjennom dette eksperimentet skal vi analysere hvilke krefter som virker på en rullende kule langs et krumt underlag. Labprosjektet skal studere og analysere en kule som ruller langs en berg-og-dal-bane. Ren rulling på et krumt underlag sin evne til energibevarelse, samt kjennskap til vår egendefinerte baneform, gir oss muligheten til å beregne en rekke ulike størrelser for den rullende kulen. Fra målinger gjennomført av videoanalyseverktøyet Tracker skal vi sammenligne målt og simulert rullebevegelse, beregne rulletid, sluttfart og deretter regne ut tap i mekanisk energi med middelverdi og usikkerhet. Dette forsøket gir oss derfor muligheten til å anvende grunnleggende prinsipper innen fysikk og få praktisk erfaring med å utføre målinger og beregninger.
2. Teori
2.1 Fart
2.2 Akselerasjon
2.3 Krefter
2.4 Usikkerhetsanalyse
3. Metode
3.1 Før forsøket
Tabell 1:
----- ---- -----
Punkt x(m) y(m)
1 0.0 0.3
2 0.2 10.26
3 0.4 0.187
4 0.6 0.186
5 0.8 0.245
6 1.0 0.239
7 1.2 0.192
8 1.4 0.203
----- ---- -----
3.2 Utstyr
3.3 Selve eksperimentet
3.4 Numerisk metode
Etter å ha beregnet baneformen kunne vi bruke denne informasjonen til å beregne de fysiske størrelsene fart, helningsvinkel, krumning, sentripetalakselerasjon, normalkraft, friksjonskraft og forholdet mellom dem. Formler og verdier er hentet fra labsiden [1]. Ved hjelp av den utdelte Jupyter notebooken utviklet vi formlene på følgende måte:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline
h = 200
xfast=np.asarray([0,1,2,3,4,5,6,7])*h
xmin = 0
xmax = 1401
dx = 1
x = np.arange(xmin,xmax,dx)
#Skruehøyder:
yfast = np.zeros(8)
yfast[0] = 300
yfast[1] = 260
yfast[2] = 187
yfast[3] = 186
yfast[4] = 245
yfast[5] = 239
yfast[6] = 192
yfast[7] = 203
cs = CubicSpline(xfast,yfast,bc_type='natural')
y = cs(x)
dy = cs(x,1)
d2y = cs(x,2)
baneform = plt.figure('y(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,y,xfast,yfast,'*')
plt.title('Banens form (figur 1)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel('$y(x)$ (mm)',fontsize=14)
plt.text(10,80,'Skruehøyder (mm):', fontsize=16)
plt.text(-40, 50, int(yfast[0]), fontsize=16)
plt.text(160, 50, int(yfast[1]), fontsize=16)
plt.text(360, 50, int(yfast[2]), fontsize=16)
plt.text(560, 50, int(yfast[3]), fontsize=16)
plt.text(760, 50, int(yfast[4]), fontsize=16)
plt.text(960, 50, int(yfast[5]), fontsize=16)
plt.text(1160, 50, int(yfast[6]), fontsize=16)
plt.text(1360, 50, int(yfast[7]), fontsize=16)
plt.ylim(0,300)
plt.xlim(-50,1450)
plt.grid()
plt.show()
#Ta bort # hvis du ønsker å lagre grafen som pdf og/eller png.
baneform.savefig("baneform.pdf", bbox_inches='tight')
baneform.savefig("diiis.png", bbox_inches='tight')
y37 = y[400:1400]
y27 = y[200:1400]
y37min = np.min(y37)
y37max = np.max(y37)
y27min = np.min(y27)
y27max = np.max(y27)
K = d2y/(1+dy**2)**(1.5) #krumningen gitt ved formel (17)
R = 1/(np.abs(K)+1E-8) #unngår R = uendelig
Rmin = np.min(R)
beta = np.arctan(dy)
betadeg = beta*180/np.pi
startvinkel = betadeg[0]
maksvinkel = np.max(np.abs(betadeg))
print('Høyeste punkt etter 3.skrue (mm): %4.0f' %y37max)
print('Laveste punkt etter 2.skrue (mm): %4.0f' %y27min)
print('Starthelningsvinkel (grader): %4.1f' %startvinkel)
print('Maksimal helningsvinkel (grader): %4.1f' %maksvinkel)
print('Minste krumningsradius (mm): %4.0f' %Rmin)
print('Festepunkthøyder (mm):', yfast)
Høyeste punkt etter 3.skrue (mm): 253
Laveste punkt etter 2.skrue (mm): 174
Starthelningsvinkel (grader): -7.8
Maksimal helningsvinkel (grader): 22.1
Minste krumningsradius (mm): 399
Festepunkthøyder (mm): [300. 260. 187. 186. 245. 239. 192. 203.]
g = 9.81*10**-3
y0 = 300
c = 2/5 #fra teoridokument
v = np.sqrt(2*g*(y0-y)/(1+c)) #formel (4)
print(np.round(v,3))
#vi vil plotte farten som en funksjon av x
fartform = plt.figure('v(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,v, color='purple',linewidth=2)
plt.title('Fart (figur 2)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel('$v(x)$ (m/s)',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
fartform.savefig("fartform.pdf", bbox_inches='tight')
fartform.savefig("1.png", bbox_inches='tight')
[0. 0.044 0.062 ... 1.168 1.167 1.166]
#nå skal vi finne vinkel
beta1= np.arctan(dy) #formel (18)
#vi vil plotte helningsvinkel som en funksjon av x
helningsvinkel = plt.figure('beta(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,beta1,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Helningsvinkel (figur 3)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'$\beta$',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
#lagrer som bilde
helningsvinkel.savefig("helningsvinkel.pdf", bbox_inches='tight')
helningsvinkel.savefig("2.png", bbox_inches='tight')
v_xn = []
for i in range(len(v)) :
v_xn.append(1/2 * (v[i-1]+v[i])) #formel (5)
#vin = []
#print("fart i xretning er", v_xn)
dt = 0
for i in range(0,1401):
#print(v_xn[i-1]*np.cos(beta[i-1]))
#legger til tidsintervallet for hvert x-komponent
dt += 2 / ((v_xn[i-1]*np.cos(beta[i-1]))+v_xn[i]*np.cos(beta[i])) #formel (6)
dt /= 1000
print("Kula bruker", round(dt,2), 'sekunder fra den blir sluppet til siste festepunkt på banen.')
Kula bruker 1.76 sekunder fra den blir sluppet til siste festepunkt på banen.
#printer ut krumning som definert tidligere
print(K)
#vi vil plotte krumningen som en funksjon av x
krumning = plt.figure('k(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,K,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Krumning (figur 4)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'$\kappa$ (1/m)',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
krumning.savefig("krumning.pdf", bbox_inches='tight')
krumning.savefig("4krumning.png", bbox_inches='tight')
[ 0.00000000e+00 -9.18911501e-06 -1.83781249e-05 ... 2.48182600e-05
1.24090319e-05 -4.21205327e-19]
#print(p)
#nå ønsker vi å finne sentripetalakselerasjon
p = v**2*K
print(p)
#vi vil plotte sentripetalakselerasjonen som en funksjon av x
sentripetalakselerasjon = plt.figure('p(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,p,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Sentripetalaksellerasjon (figur 5)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'a$\bot$ (1/m)',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
sentripetalakselerasjon.savefig("sentripetal.pdf", bbox_inches='tight')
sentripetalakselerasjon.savefig("5sentripetal.png", bbox_inches='tight')
[ 0.00000000e+00 -1.76437061e-08 -7.05768545e-08 ... 3.38350920e-05
1.68930376e-05 -5.72580505e-19]
#nå skal vi finne normalkraften
m = 0.031
N = m*(g*np.cos(beta) + p ) #formel 15
#vi vil plotte Normalkraften som en funksjon av x
normalkraft = plt.figure('N(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,N,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Normalkraft (figur 6)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'$N$ (N)',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
normalkraft.savefig("normalkraft.pdf", bbox_inches='tight')
normalkraft.savefig("normalkraft.png", bbox_inches='tight')
#nå skal vi finne friksjonen
f = 2*m*g*np.sin(beta)/7 #formel (12)
#vi vil plotte Normalkraften som en funksjon av x
friksjon = plt.figure('f(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,f,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Friksjonskraft (figur 7)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'$f$ (N)',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
friksjon.savefig("friksjon.pdf", bbox_inches='tight')
friksjon.savefig("7friksjon.png", bbox_inches='tight')
#forhold mellom friksjonskraft og normalkraft
forhold = f/N #friksjon
forhold = np.abs(forhold)
#vi vil plotte forholdet mellom N og f som en funksjon av x
forholdsgraf = plt.figure('forhold(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,forhold,color='purple',linewidth=2)
plt.title('Forhold mellom normalkraft og friksjon (figur 8)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel(r'$F/N$',fontsize=14)
plt.grid()
plt.show()
#vi bør sjekke et eller annet med g eller noe sånn
forholdsgraf.savefig("forhold.pdf", bbox_inches='tight')
forholdsgraf.savefig("8forhold.png", bbox_inches='tight')
Vi legger inn text-filen med data fra trackeren vår og henter ut alle verdiene
file = open("video10.txt","r")
tverdi = []
xverdi = []
yverdi = []
vverdi = []
count = 0
for line in file:
if count > 1:
linjedelt = line.split()
tverdi.append(float(linjedelt[0]))
xverdi.append(float(linjedelt[1]))
yverdi.append(float(linjedelt[2]))
vverdi.append(float(linjedelt[3]))
count += 1
#lager en som er i millimeter
xmilli = np.asarray(xverdi) * 1000
ymilli = np.asarray(yverdi) * 1000
vmilli = np.asarray(vverdi) * 1000
#lese fil
4.Resultater
Ved hjelp av teorien og simuleringen av banen i Jupyter notebook ble vår estimerte slutthastighet målt til 1.166 (m/s). Resultatene i tabell 2 viser de ti forsøkene og ved hjelp av dette ble middelverdien til sluttfarten 1.209 (m/s). Ved hjelp av likningene (20) og (21) ble standardavviket regnet til 0.07 (m/s) og standardfeilen 0.01 (m/s). Dette resulterer i en sluttfart på 1.209 ±0.07 (m/s).
Tabell 2:
------ ------- ---------
Forsøk Sluttid Sluttfart
1 1.802 1.235
2 1.802 1.183
3 1.802 1.324
4 1.768 1.323
5 1.802 1.135
6 1.702 1.159
7 1.835 1.187
8 1.835 1.213
9 1.18
10 1.155
------ ------- ---------
Vi sammenligner baneformen vi regnet ut med trackerverdiene
baneform = plt.figure('y(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,y,xfast,yfast,'*')
#legger inn linja fra tracker
plt.plot(xmilli,ymilli,'*')
plt.title('Banens form (figur 9)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel('$y(x)$ (mm)',fontsize=14)
plt.text(10,80,'Skruehøyder (mm):', fontsize=16)
plt.text(-40, 50, int(yfast[0]), fontsize=16)
plt.text(160, 50, int(yfast[1]), fontsize=16)
plt.text(360, 50, int(yfast[2]), fontsize=16)
plt.text(560, 50, int(yfast[3]), fontsize=16)
plt.text(760, 50, int(yfast[4]), fontsize=16)
plt.text(960, 50, int(yfast[5]), fontsize=16)
plt.text(1160, 50, int(yfast[6]), fontsize=16)
plt.text(1360, 50, int(yfast[7]), fontsize=16)
plt.ylim(0,300)
plt.xlim(-50,1450)
plt.grid()
plt.show()
#Ta bort # hvis du ønsker å lagre grafen som pdf og/eller png.
baneform.savefig("baneform.pdf", bbox_inches='tight')
baneform.savefig("1baneform.png", bbox_inches='tight')
Sammenligner med farten
g = 9.81*10**-3
y0 = 300
c = 2/5 #fra teoridokument
v = np.sqrt(2*g*(y0-y)/(1+c)) #formel (4)
print(np.round(v,3))
#vi vil plotte farten som en funksjon av x
fartform = plt.figure('v(x)',figsize=(12,6))
plt.plot(x,v, color='purple',linewidth=2)
plt.title('Fart (figur 10)', fontsize=20)
plt.xlabel('$x$ (mm)',fontsize=14)
plt.ylabel('$v(x)$ (m/s)',fontsize=14)
#legger inn linja fra tracker
plt.plot(xmilli,vmilli/1000,'*')
plt.grid()
plt.show()
fartform.savefig("fartform.pdf", bbox_inches='tight')
fartform.savefig("2fartform.png", bbox_inches='tight')
[0. 0.044 0.062 ... 1.168 1.167 1.166]
Regning med tid
#sluttverdiene fra Tracker: (da vi glemte å skrive ned tidene mangler vi to av forsøkene nå, men det blir tatt hensyn til i utregningen)
tslutt = np.array([1.802,1.802,1.802,1.768,1.802,1.702,1.835,1.835])
antall = 8 #antall ganger sånn megaskit
#middelverdi
median_tid = np.average(tslutt)
print("Middelverdi av tiden:")
print(round(median_tid,2))
#varians
varians_tid = np.sum((tslutt - median_tid)**2)/(antall-1)
print("Varians av tiden:")
print(round(varians_tid,3))
#standardavvik
std_tid = np.sqrt(varians_tid)
print("Standardavik av tiden:")
print(round(std_tid,2))
#standardfeil
stdFeil_tid = std_tid/np.sqrt(antall)
print("Standardfeil av tiden:")
print(round(stdFeil_tid, 2))
Middelverdi av tiden:
1.79
Varians av tiden:
0.002
Standardavik av tiden:
0.04
Standardfeil av tiden:
0.02
Regning med fart
#henter inn sluttfartene fra Tracker:
vslutt = np.array([1.235,1.183,1.324,1.323,1.135,1.159,1.187,1.213,1.180,1.155])
antall = 10
#middelverdi
median_fart = np.average(vslutt)
print("Middelverdi av farten:")
print(round(median_fart, 3))
#varians
varians_fart = np.sum((vslutt - median_fart)**2)/(antall-1)
print("Varians av farten:")
print(round(varians_fart, 3))
#standardavvik
std_fart = np.sqrt(varians_fart)
print("Standardavik av farten:")
print(round(std_fart,2))
#standardfeil
stdFeil_fart = std_tid/np.sqrt(antall)
print("Standardfeil av fart:")
print(round(stdFeil_fart, 2))
Middelverdi av farten:
1.209
Varians av farten:
0.004
Standardavik av farten:
0.07
Standardfeil av fart:
0.01
Regning med kinetisk energi
kinetiskEnergiSlutt = (1+c)/2 * m * vslutt**2 #formel (3)
#print(k)
#middelverdi
median_kin = np.average(kinetiskEnergiSlutt)
print("Middelverdi av Kinetisk Energi:")
print(round(median_kin,4))
#varians
varians_kin = np.sum((kinetiskEnergiSlutt - median_kin)**2)/(antall-1)
print("Varians av Kinetisk Energi:")
print(round(varians_kin,5))
#standardavvik
std_kin = np.sqrt(varians_kin)
print("Standardavik av Kinetisk Energi:")
print(round(std_kin,4))
#standardfeil
stdFeil_kin = std_kin/np.sqrt(antall)
print("Standardfeil av Kinetisk Energi:")
print(round(stdFeil_kin,4))
Middelverdi av Kinetisk Energi:
0.0318
Varians av Kinetisk Energi:
1e-05
Standardavik av Kinetisk Energi:
0.0036
Standardfeil av Kinetisk Energi:
0.0011
Regning med tapt Mekanisk Energi
ystart = 0.300
yslutt = 0.203
MekaniskSlutt = m*g*ystart - m*g*yslutt -kinetiskEnergiSlutt #formel (2)
print("Mekanisk sluttverdi:")
print(np.round(MekaniskSlutt,4))
#middelverdi
median_mek = np.average(MekaniskSlutt);
print("Median mekanisk sluttverdi:")
print(round(median_mek,4))
#varians
varians_mek = np.sum((MekaniskSlutt - median_mek)**2)/(antall-1)
print("Varians mekanisk sluttverdi:")
print(round(varians_mek,5))
#standardavvik
std_mek = np.sqrt(varians_mek)
print("Standardavvik mekanisk sluttverdi:")
print(round(std_mek,4))
#standardfeil
stdFeil_mek = std_mek/np.sqrt(antall)
print("Standardfeil mekanisk sluttverdi:")
print(round(stdFeil_mek,4))
Mekanisk sluttverdi:
[-0.0331 -0.0303 -0.038 -0.038 -0.0279 -0.0291 -0.0305 -0.0319 -0.0302
-0.0289]
Median mekanisk sluttverdi:
-0.0318
Varians mekanisk sluttverdi:
1e-05
Standardavvik mekanisk sluttverdi:
0.0036
Standardfeil mekanisk sluttverdi:
0.0011
5. Diskusjon
5.1 Usikkerhet
5.2 Analyse av grafer
6.Konklusjon
7.Referanser
[1] J.A Støvneng, Institutt for fysikk, NTNU: NTNU Fysikklab. https://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisning/fyslab/files/labligninger_V23.pdf