# Parte 1 - Regressão A primeira parte tem como objetivo prever a posição que uma bola chegará no gol, de modo que um robo goleiro de futebol possa defender a bola. Para isso iremos implementar uma regressão linear e polinomial que preve a trajetória da bola. ## Modelo Linear Escolhemos utilizar equações paramétricas para descrever a reta que representará os dados do chute. Utilizaremos o tempo t para isto, sabendo que este é atualizado 60 vezes por segundo. Logo, o modelo linear é dado por: $X = b_{X}t + c_{X}$ $Y = b_{Y}t + c_{Y}$ $Z = b_{Z}t + c_{Z}$ A hipótese é de que este modelo será eficiente para predizer chutes rasteiros, já que estes seguem trajetória similar à uma reta. ### Função de Custo Apesar da raiz quadrática média(RMSE) ser menos sensível à outliers, optamos por utilizar o erro quadrático médio(MSE) como função de custo, por apresentar derivadas parciais menos complexas, e devido nossos dataset não possuírem outliers significativos. Para isso, calculamos a diferença entre as predições do modelo linear e os dados fornecidos pelo dataset. Por essa razão, a função _MSE_linear_ recebe como argumentos dois vetores com os coeficientes angulares e lineares para as equações paramétricas de X, Y e Z, respectivamente. $B = (b_{X}, b_{Y}, b_{Z})$ é o vetor de coeficientes angulares. $C = (c_{X}, c_{Y}, c_{Z})$ é o vetor de coeficientes lineares. #### Aplicação ao Modelo Linear A função de custo para o modelo linear é dada por: $Error = MSE_{X} + MSE_{Y} + MSE_{Z}$, tal que $MSE_{var} = \frac{1}{2n} \sum\limits_{i=1}^{n}(var_{i} - (b_{var}t_{i} + c_{var}))^2$ Como $\frac{1}{2n}$ é um termo comum: $Error = \frac{1}{2n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i} - (b_{X}t_{i} + c_{X}))^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}(Y_{i} - (b_{Y}t_{i} + c_{Y}))^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}(Z_{i} - (b_{Z}t_{i} + c_{Z}))^2 )$ #### Cálculo do Gradiente Para realizar a regressão, é preciso calcular as seguintes derivadas: $\frac{\partial Error}{\partial b_{X}}, \frac{\partial Error}{\partial b_{Y}}, \frac{\partial Error}{\partial b_{Z}}, \frac{\partial Error}{\partial c_{X}}, \frac{\partial Error}{\partial c_{Y}}, \frac{\partial Error}{\partial c_{Z}}$ Existe um termo para as derivadas que varia conforme a variável escolhida. $f_{var} = \frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(var_{i} - (b_{var}t_{i} + b_{var})) )$ Existe outro termo que varia de acordo com o tipo de coeficiente escolhido. Para coeficientes angulares: $f_{b} = -t_{i}$ Para coeficientes lineares: $f_{c} = -1$ Dessa forma, pela regra da cadeia: $\frac{\partial Error}{\partial b_{X}} = f_{X} \cdot f_{b} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(X{i} - (b_{X}t_{i} + c_{X})) \cdot t_{i})$ $\frac{\partial Error}{\partial b_{Y}} = f_{Y} \cdot f_{b} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(Y{i} - (b_{Y}t_{i} + c_{Y})) \cdot t_{i})$ $\frac{\partial Error}{\partial b_{Z}} = f_{Z} \cdot f_{b} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(Z{i} - (b_{Z}t_{i} + c_{Z})) \cdot t_{i})$

$\frac{\partial Error}{\partial c_{X}} = f_{X} \cdot f_{c} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(X{i} - (b_{X}t_{i} + c_{X})) )$ $\frac{\partial Error}{\partial c_{Y}} = f_{Y} \cdot f_{c} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(Y{i} - (b_{Y}t_{i} + c_{Y})) )$ $\frac{\partial Error}{\partial c_{Z}} = f_{Z} \cdot f_{c} = -\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^{n}(Z{i} - (b_{Z}t_{i} + c_{Z})) )$