Statistische Physik

#imports import numpy as np import matplotlib as mplt from matplotlib import pyplot as plt import random

def random_walk(dim, k): """Random-Walk in d Dimensionen und k Schritten. Jeder Schritt wird im Anschluss als einzelnes Array ausgegeben.""" #für d-dimensionale Arrays walk = np.zeros((k+1, dim)) for i in range(k): step = np.zeros(dim) for j in range(dim): step[j] = random.uniform(-1/2, 1/2) walk[i+1] = walk[i] + step return [walk]

#Wir überprüfen, dass jeder Schritt als einzelnes Array ausgegeben wird. print(random_walk(2, 5))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 3), dpi=100) k1 = 10000 #Abspeichern der Random Walks zum Plotten RW1_1 = random_walk(1, k1) RW1_2 = random_walk(1, k1) RW1_3 = random_walk(1, k1) #Darstellen der drei eindimensionalen Random Walks ax.plot(RW1_1[0], label='Random Walk 1') ax.plot(RW1_2[0], label='Random Walk 2') ax.plot(RW1_3[0], label='Random Walk 3') #Einstellungen für den Plot ax.set(title='1-D Random Walks') ax.grid() ax.set_xlim(0, k1) ax.set_xlabel('time') ax.set_ylabel('position') ax.legend(loc="upper right") plt.show()

#Abspeichern der Random Walks für das Plotten: RW2_1 = random_walk(2, k1) RW2_2 = random_walk(2, k1) RW2_3 = random_walk(2, k1) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5), dpi=100) plt.scatter(RW2_1[0][:,0], RW2_1[0][:,1], s=1, c='blue', marker='o', label="Random Walk 1") plt.scatter(RW2_2[0][:,0], RW2_2[0][:,1], s=1, c='red', marker='o', label="Random Walk 2") plt.scatter(RW2_3[0][:,0], RW2_3[0][:,1], s=1, c='orange', marker='o', label="Random Walk 3") plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.title("Positionen der Schritte von 2-D Random Walks ") plt.legend(loc='upper right') plt.show()

def walkers(dim, k, w): """w Random-Walker in d Dimensionen und k Schritten. Ausgegeben werden die Endpunkte der einzelnen Random Walkers nach jeweils k Schritten in d Dimensionen.""" #für d-dimensionale Arrays walker_positions = np.zeros((w, dim)) for l in range(w): walks = np.zeros(dim) for m in range(k): step = np.zeros(dim) for n in range(dim): step[n] = random.uniform(-1/2, 1/2) walks += step walker_positions[l] = walks return [walker_positions]

#Überprüfen walkers(2, 1, 5)

#Abspeichern der Random Walks für das Plotten: w1 = 10000 #Anzahl der Random Walkers RW5_1 = walkers(2, 1, w1) #Positionen der Random Walkers nach k=1 Schrittem RW5_2 = walkers(2, 10, w1) #Positionen der Random Walkers nach k=10 Schritten fig = plt.subplots(figsize=(10, 5), dpi=100) plt.scatter(RW5_1[0][:,0], RW5_1[0][:,1], s=1, c='blue', marker='o', label="k=1") plt.scatter(RW5_2[0][:,0], RW5_2[0][:,1], s=1, c='red', marker='o', label="k=10") plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.title("Endpositionen von 10000 Random Walkers in 2-Dimensionen nach 1 und 10 Schritten") plt.legend(loc='upper right') plt.show()

def gauss(x, k): w = 10000 positions = np.zeros(w) for i in range(10000): for j in range(k): step = random.uniform(-1/2, 1/2) walks = 0 walks += step positions[i] = walks mu = np.mean(positions) #mittelwert sigma = np.std(positions, ddof=1) #varianz gauss = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * sigma) * np.exp(-((x - mu) ** 2)/(2 * sigma ** 2)) return gauss #in der augabe müssen nocvh mittelwert und std nachgewiesen werden

#Wir wollen zeigen dass die Gaußverteilung einen Mittelwert bei 0 hat. #Wir definieren k = 10 und zunächst ein exemplarisches Array über den Bereich der maximalen Weglänge k*1/2 x = np.linspace(-5, 5) np.mean(gauss(x, 10))

#Abspeichern der Positionen für das Histogramm data1 = walkers(1, 1, 10000) data2 = walkers(1, 10, 10000) data3 = walkers(1, 20, 10000)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 7), dpi=100) fig.tight_layout() #Plot für k=1 ax1 = plt.subplot(311) xmin, xmax = plt.xlim(-1/2,1/2) x1 = np.linspace(xmin, xmax, 1000) #Ploteinstellungen plt.title("Datensatz und berechnete Gauß-Verteilung für k=1") ax1.set_ylabel('Wahrscheinlichkeit') #Histogramm p, bins, patches = ax1.hist(data1[0], bins=50, density=True, alpha=0.5, color='blue') #Gaußverteilung ax1.plot(x1, gauss(x1, 1), color='red') #Plot für k=10 ax2 = plt.subplot(312) plt.title("Datensatz und berechnete Gauß-Verteilung für k=10") ax2.set_ylabel('Wahrscheinlichkeit') xmin2, xmax2 = plt.xlim(-3, 3) x2 = np.linspace(xmin2, xmax2, 1000) #Histogramm p, bins, patches = ax2.hist(data2[0], bins=50, density=True, alpha=0.5, color='blue') #Gaußverteilung ax2.plot(x2, gauss(x2, 10), color='red') #Plot für k=20 ax3 = plt.subplot(313) plt.title("Datensatz und berechnete Gauß-Verteilung für k=20") ax3.set_ylabel('Wahrscheinlichkeit') ax3.set_xlabel("Messwert") xmin3, xmax3 = plt.xlim(-4, 4) x3 = np.linspace(xmin3, xmax3, 1000) #Histogramm p, bins, patches = ax3.hist(data3[0], bins=50, density=True, alpha=0.5, color='blue') #Gaußverteilung ax3.plot(x3, gauss(x3, 20), color='red') plt.show()