Julien Barrès, Noëline Villard, Raphaël Seegmuller

1. Loi uniforme.

1.1. Simulation.

Exercice 1.

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import imageio from numpy.random import rand as Uniforme Y_Uniforme = [Uniforme() for i in range(N)]

Exercice 2.

Pour $N$ grand, on s'approche de plus en plus d'un histogramme plat, qui correspond bien à la distribution d'une loi uniforme. Pour découper l'histogramme en un nombre d'intervalles raisonnable par rapport à la taille de l'échantillon, on peut par exemple fixer le nombre d'intervalles à $N/10$ ou $N/100$.

2. Loi de Bernoulli

2.1. Simulation

Exercice 3.

Question 1 :

$$\mathbb{P} (X = 1) = \mathbb{P} (U \lt p) = \mathbb{P} (0 \lt U \lt p) = \frac{p-0}{1-0} = p$$

et $$\mathbb{P} (X = 0) = \mathbb{P} (U \geq p) = \mathbb{P} (p \geq U \geq 1) = \frac{1-p}{1-0} = 1-p$$

Donc X suit bien une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Question 2 :

def Bernoulli(p): U = Uniforme() if U < p: return 1 else: return 0

Question 3 :

Exercice 4.

def occurence(val, y): occ = np.zeros(val.size) for j in range(y.size): for k in range(val.size): if y[j] == val[k]: occ[k] += 1 break return occ

2.2. Simulation d'un bruit poivre et sel dans une image

Exercice 5.