#import necessary libraries import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import math from scipy.optimize import curve_fit

# Measurements: R = 9962.9 #waarde gebruikte weerstand in Ohm #Dit is ongeveer gelijk aan 1% van de interne weerstand van de Voltmeter. #De weerstand had als label 10kohm, een meting met multimeter leverde deze waarde q = -1.602*10**-19 #elementaire lading in Coulomb T = 12+273 #temperatuur van diode tijdens experiment in Kelvin n = 2 #idealiteits factor, voor de door ons gebruikte halfgeleider gelijk aan 2 #gemeten data Ve is de voltspanning, en Vr is de gemeten spanning over de weerstand. #Beide spanningen gemeten in Volt Ve = np.array([0.01,0.02, 0.013,0.22,0.31,0.53,0.71,1.31,1.66,2.72,3.04,4.24,5.44,6,6.52, 0.07,0.09,0.13,0.19,0.26,0.33,0.39,0.45,0.49,0.53 ]) Vr = np.array([0.006*10**-3,0.01*10**-3,0.308*10**-3,2.187*10**-3, 11.334*10**-3,114.015*10**-3,0.2572,0.8040,1.137,2.1715,2.4756, 3.657,4.8403,5.4026,5.9201, 0.077*10**-3, 0.148*10**-3,0.355*10**-3,1.604*10**-3, 5.113*10**-3, 16.116*10**-3, 35.429*10**-3,67.542*10**-3,91.558*10**-3,121.50*10**-3 ])

#In de arrays met metingen staan de metingen met verschillende onzekerheden door elkaar heen. #Om de arrays op te delen in twee arrays moeten de metingen met dezelfde onzekerheid achter elkaar staan. #onderstaande code verwijderd een sectie van beide arrays en plaatst dezelfde sectie achter aan de array #zodat de arrays ge-sliced kunnen worden op een manier zodat #alle datapunten met dezelfde meetonzekerheid in hetzelfde resulterende array zitten. begin = 6 #begin en eind punt van verplaatste sectie end = 15 plt.scatter(Ve,Vr) #zie laatste comment van deze cell. Vrinj = Vr[begin:end] #selecteer gekozen sectie en verwijder het, plaats het vervolgens weer achteraan de array. Vr = np.delete(Vr,np.s_[begin:end]) Vr = np.append(Vr,Vrinj) Veinj = Ve[begin:end] #herhaal voor andere array met metingen. Ve = np.delete(Ve,np.s_[begin:end]) Ve = np.append(Ve,Veinj) plt.yscale('log') plt.scatter(Ve,Vr) #deze scatter plot is om na te gaan of alle datapunten nog op dezelfde positie liggen, #Te zien is dat alle data punten over elkaar liggen. Dit is de bedoeling. #Er zijn geen datapunten verschoven tijdens de herindeling van de arrays. plt.show()

#We hebben besloten de derde meting te verwijderen, dit was een duidelijke outlier, veroorzaakt door een foute aflezing van de meet apparatuur. #We konden hiervoor geen gebruik maken van het chauvents criterium omdat er slechts 1 meting van Vr is per Ve en er dus geen gausische verdeling is. Ve = np.delete(Ve,2) Vr = np.delete(Vr,2) #De metingen moeten opgedeeld worden in twee delen omdat vanaf datapunt 15 de onzekerheid in Vr veranderd. #Het display van de multimeter gaat op dat moment automatisch over van mV naar dV. #De arrays geassocieerd met mV worden 1 genoemd en geassocieerd met dV worden 2 genoemd. print(len(Vr)) Vr1 = Vr[:15] Vr2 = Vr[15:] Ve1 = Ve[:15] Ve2 = Ve[15:] print(Vr1,Vr2)

print(Ve,Vr) #Data processing and analysis: Vd = Ve-Vr #naar de wetten van kirchoff wordt met deze formule de spanning over de diode berekend Id = Vr/R #aan de hand van de wet van Ohm wordt de stroom door de diode berekend. Ir = Id #voor de error bars wordt hetzelfde uitgevoerd maar dan per apart array: Vd1 = Ve1-Vr1 Id1 = Vr1/R Ir1 = Id1 Vd2 = Ve2-Vr2 Id2 = Vr2/R Ir2 = Id2

#onzekerheid in gemeten weerstand: u_R = (0.002/100)*R+0.005 #gegeven door datasheet van de agilent multi meter. Deze is altijd constant omdat het slechts een meting is. #onzekerheid in bronspanning Ve, deze is altijd hetzelfde #maar om de error bars goed weer te geven moet ook deze array opgesplitst worden. #de onzekerheden zijn verkregen uit de datasheet van de handheld multimeter u_Ve1 = Ve1*7*10**(-3)+0.01 u_Ve2 = Ve2*7*10**(-3)+0.01 #De onzekerheid in de spanning over de weerstand verschilt voor array 1 en 2. #deze onzekerheden zijn verkregen uit de datasheet van de agilent multi meter. u_Vr1 = Vr1*3*10**(-5)+4*10**(-6) u_Vr2 = Vr2*1.5*10**(-5)+10**(-4)+4*10**(-5) #Met deze basis onzekerheden kunnen de onzekerheden in berekende waarden Id en Vd, de stroom en spanning over de diode berekend worden. #Zie onderstaande cell voor de formule van deze grootheden #Ook deze onzekerheden worden opgedeeld in twee arrays. u_Vd1 = np.sqrt(((u_Ve1)**2)+(u_Vr1)**2) u_Vd2 = np.sqrt(((u_Ve2)**2)+(u_Vr2)**2) #gegeven door standaard formule uit het dictaat te gebruiken van optellen meerdere variabelen. u_Id1 = Id1*np.sqrt(((u_Vr1/Vr1)**2)+(u_R/R)**2) u_Id2 = Id2*np.sqrt(((u_Vr2/Vr2)**2)+(u_R/R)**2) #gegeven door kwadratisch optellen van de relatieve onzekerheden. print(u_Id1,Id1,u_Vd1,Vd1)

#om een onzekerheid van de volledige array te krijgen worden de onzekerheids array1 en 2 achter elkaar gevoegd. u_Id = np.append(u_Id1,u_Id2) u_Vd = np.append(u_Vd1,u_Vd2) def f(V,a,b): return a*(np.exp(b*V)-1) popt, pcov = curve_fit(f,Vd,Id,p0=[2.6643716530399914e-09,20.387516506496972],sigma=u_Id) # curve fit om de constante van stefan boltzmann te berekenen. a = popt[0] #sperstroom b = popt[1] #deze variabele b is gelijk aan -q*V_d / n*k_B*T met K_b de constante van Boltzmann perr = np.sqrt(np.diag(pcov)) u_a = perr[0] u_b = perr[0] V = np.linspace(0,0.601,1000) print('fit waarde a:',a,'onzekerheid in fit waarde a:',u_a) print('fit waarde b:',b,'onzekerheid in fit waarde b',u_b)

#Data processing and analysis: #vormgeving van een dataplot met fit functie. plt.yscale('log') #voor deze plot wordt gebruik gemaakt van een logaritmische schaal. plt.ylabel('$Id (A)$') plt.xlabel('$Vd (V)$') plt.plot(Vd1,Id1, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in mV') plt.plot(Vd2,Id2, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in dV') plt.plot(V,f(V,a,b),'r',label='fit: a=%.2E, b=%.2E' % tuple(popt)) plt.errorbar(Vd1,Id1,u_Id1,u_Vd1,linestyle='',fmt='g') plt.errorbar(Vd2,Id2,u_Id2,u_Vd2,linestyle='',fmt='g') plt.legend() plt.show()

#een tweede curve fit funtie om de richtingscoefficient te bepalen van de asymptoot van de datapunten. def f1(V,a,b): return a*(np.exp(b*V)) popt, pcov = curve_fit(f,Vd,Id) # curve fit om de constante van stefan boltzmann te berekenen. a1 = popt[0] #sperstroom b1 = popt[1] #deze variabele b is gelijk aan -q*V_d / n*k_B*T met K_b de constante van Boltzmann perr1 = np.sqrt(np.diag(pcov)) u_a1 = perr[0] u_b1 = perr[0] V = np.linspace(-0.0001,0.601,1000)

#Data processing and analysis: #vormgeving van een dataplot met fit functie. plt.yscale('log') #voor deze plot wordt gebruik gemaakt van een logaritmische schaal. plt.ylabel('$Id (A)$') plt.xlabel('$Vd (V)$') plt.plot(Vd1,Id1, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in mV') plt.plot(Vd2,Id2, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in dV') plt.plot(V,f1(V,a1,b1),'k-',color = 'grey',label='fit: a=%.2E, b=%.2E' % tuple(popt)) plt.errorbar(Vd1,Id1,u_Id1,u_Vd1,linestyle='',fmt='g') plt.errorbar(Vd2,Id2,u_Id2,u_Vd2,linestyle='',fmt='g') plt.plot(V,f(V,a,b),'r',label='fit: a=%.2E, b=%.2E' % tuple(popt)) plt.legend() plt.savefig('plot kB.pdf') plt.show()

kB = -q/(n*b*T) #berekening constante van boltzmann uit waarde van b. #onzekerheid in kB wordt gegeven door de onzekerheid in b te vermenigvuldigen met de partieel afgeleide naar b van de formule voor kB u_kB = abs(u_b*q*(1/(n*T*b**(-2)))) print('constante van Boltzmann:',kB,'onzekerheid in de meting van de constante:',u_kB)

#Data processing and analysis: plt.yscale('log') #voor deze plot wordt gebruik gemaakt van een logaritmische schaal. plt.ylabel('$Id (A)$') plt.xlabel('$Vd (V)$') plt.plot(Vd1,Id1, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in mV') plt.plot(Vd2,Id2, 'k.',linestyle='',label='Vr gemeten in dV') plt.plot(V,f1(V,a1,b1),'r',label='fit: a=%.2E, b=%.2E' % tuple(popt)) plt.errorbar(Vd1,Id1,u_Id1,u_Vd1,linestyle='',fmt='g') plt.errorbar(Vd2,Id2,u_Id2,u_Vd2,linestyle='',fmt='g') plt.legend() plt.show()

#Calculations of e.a. measurement uncertainties, and providing final answers. #strijdigheidsanalyse, het verschil tussen de twee waarden dient niet groter te zijn dan twee maal de onzekerheid kwadratisch opgeteld. #literatuur waarde van kB: 1.380649·10**{−23} kB_lit = 1.38064852*10**(-23) u_kB_lit = 0.00000079*10**(-23) #de constante van boltzman is sinds 2019 een exacte waarde gedefineerd als bovenstaande delta_kB = abs(kB-kB_lit) #het verschil tussen de gevonden waarde en literatuur waarde u_double = 2*np.sqrt(u_kB**2+u_kB_lit**2) if delta_kB>u_double: print('de waarden komen niet overeen') else: print('wel') proc = (1.38064852-1.38129)/1.38064*100 print(proc,'%')